Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

§ 2. Параллелограмм и трапеция

Признаки параллелограмма

10. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм..

Пусть в четырёхугольнике ABCD стороны АВ и CD параллельны и AB = CD (см. рис. 158).

Проведём диагональ АС, разделяющую данный четырёхугольник на два треугольника: АВС и CD А. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (АС — общая сторона, АВ = CD по условию, ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей АС), поэтому ∠3 = ∠4. Но углы 3 и 4 накрест лежащие при пересечении прямых AD и ВС секущей АС, следовательно, AD || ВС.

Таким образом, в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, а значит, четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

20. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Проведём диагональ АС данного четырёхугольника ABCD, разделяющую его на треугольники АВС и CD А (см. рис. 158). Эти треугольники равны по трём сторонам (АС — общая сторона, AB = CD и BC = DA по условию), поэтому ∠1 = ∠2. Отсюда следует, что АВ || CD. Так как AB = CD и АВ || CD, то по признаку 1⁰ четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

30. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Рассмотрим четырёхугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам (см. рис. 159). Треугольники АОВ и COD равны по первому признаку равенства треугольников (АО = ОС, BO = OD по условию, ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы), поэтому AB = CD и ∠1 = ∠2. Из равенства углов 1 и 2 следует1, что АВ || CD.

Итак, в четырёхугольнике ABCD стороны АВ и CD равны и параллельны, значит, по признаку 1⁰ четырёхугольник ABCD — параллелограмм.